一道小学奥数题(出一道小学奥数题)快来看

数学—思维的体操

 

    最近看到这样一道小学奥数题：设2009的2009次方的各位数字之和为A，A各位数字之和为B，B各位数字之和为C，C各位数字之和为D，那么D=？很明显这是一个数论题，初看时，我不敢相信这是一道小学数学题！我也很好奇，出这道题的老师，他自己将怎么给五年级或者六年级的孩子讲这道题！至少我觉得，这里面的知识点太多了，要想讲给小学生听，按照培训学校的模式，肯定还是短时间内讲给小学生听，必然的，要以牺牲很多细节为代价！下面先看一看这道题的分析过程：

①多位数乘以多位数，积的位数等于两因数位数之和或两因数位数之和减1这一条规律，可以从我们的日常经验中发现：比如，3×4=12、5×7=35、26×74=1924、67×38=2546(这些乘法算式的积的位数都是等于两因数位数之和)；2×3=6、3×3=9、17×13=221、24×36=864、18×48=864（这些乘法算式的积的位数都是等于两因数位数之和减1），由此可知多位数乘以多位数，积的位数等于两因数位数之和或两因数位数之和减1，此规律更加完整的推导过程，可以参看我国著名科普书作家，数学家张景中先生所著《数学家的眼光》，在这本书中，有一篇文章《定位》，就是说的这个问题!。

      这一条规律，对于此题有什么用，它可以让我们估计：2009的2009次方结果的位数！首先，解释一下2009的2009次方的意思：2009×2009×2009×......2009(一共2009个2009相乘)，其具体结果是多少，只有天知道，虽然电脑可以算出来，但那样意义也不大！下面，我们先利用规律①来估计

2009的2009次方的位数，首先来看一看两个2009相乘积的位数情况，因为2009本身是四位数，所以：2009×2009其结果位数不会超过：4+4=8（位），也就是2009×2009的积最多是几千万以内，同样的道理：2009×2009×2009×......2009(一共2009个2009相乘)的积的位数不会超过：4+4+4+......+4（2009个4相加）=8036，为方便计算，把8036估作9000，也就是说：2009的2009次方，其结果的位数最多不会超过9000位数！那么我们马上可以求出其各位数字之和就不会超过：9000×9=81000（

想一想为什么？），也就是说，A虽然是天文数字，但是其各位数字之和B，最多也就是个五位数而已！所以，B的各位数字之和C，就更小了，不会超过9×5=45，也就是说C最多是不大于45的两位数！那么C的各位数字之和D，就不会超过：4+5=9！所以，这个D就只是个一位数而已，或者说个位数（

但不可能等于0，想一想为什么？）！这倒是个不错的发现因为现在我们至少知道，D在1~9之间，如果靠猜的话，对的可能性也有九分之一！

②一个数除以9的余数，与其各位数字之和除以9的余数相等！我们可以举几个例子：256÷9=28......4，各位数字之和除以9：（2+5+6）÷9=1......4；162÷9=18，个位数字之和除以9：（1+6+2）÷9=1，

两者都余0，你自己也可以再举几个例子，看一看是不是这个规律！其实，道理也很简单：每个多位数，都可以表示成：多位数=9的倍数+各位数字之和，的形式比如：112=（99+1）+（9+1）+2=（99+9）+（1+1+2）=9的倍数+各位数字之和，356=（99+99+99+3）+（9+9+9+9+9+5）+6=9的倍数+（3+5+6）=9的倍数+各位数字之和，所以一个多位数除以9的余数，与其各位数字之和除以9的余数相同！你也可以自己再写几个，模仿上面过程试一试！严格的证明过程，可以模仿本公众号中的文章

《算术入门二——质数的判定》中的方法！

      有了第二条规律，那我们就知道，2009的2009次方除以9的余数，与A除以9的余数相同！同样的道理A除以9的余数，又与B除以9的余数相同！B除以9的余数，又与C除以9的余数相同，C除以9的余数，就会与D除以9的余数相同，因为D是个位数，

9的余数也必定是个位数，所以D其实就是2009的2009次方除以9的余数！（思考：为什么？）所以，我们大费奏章了半天，原题的意思就是要求2009的2009次方除以9的余数是多少！不过，即使是这样，对于如何求一个不知道等于多少的天文数字除以9的余数，依然是一件及其困难的事情，需要我们继续探索第三条规律！

③两个因数的积（除以某个数）的余数，等于（这两个数分别除以某个数所得）余数的积除以某个数的余数，简单来说就是：积的余数等于余数积的余数！举几个例子：（67×59）÷9=439...2；67÷9余数是4，59÷9余数是

5，所以余数积是：（4×5），除以9的余数也是2再比如，（123×46）÷17=5658÷17，余数是14，123÷17的余数是21，46÷17的余数是12，余数积是：21×12=252，252÷17=14...14，余数是。

14，你应该自己再举几个例子，亲自体验一下这个规律！有了第③条规律，那我们在求2009的2009次方除以9的余数时，就方便多了！我们可以先求出2009÷9的余数，容易求得2009÷9=223......2，余数是2。

所以，按照第③条规律，2009×2009除以9的余数就会等于余数积：2×2除以9的余数，因为2×2=4除以9的余数就是4，所以2009×2009除以9的余数也是4！那么3个2009相乘的积除以9的余数就应该与2×2×2除以9的余数相同，2×2×2=8，所以2009×2009×2009除以9的余数等于8（你可以用计算器验证一下），虽然这样算余数很方便，但是因为有2009个2009相乘，我们乘2009次，还是非常繁琐啊，还有什么好办法没？..............是的，。

如果我们能够找出几个2009相乘除以9的余数恰好是1的话，那就好办了，因为“1”就像打倒多米诺骨牌的那块牌一样，可以产生连锁反应！2009×2009×2009除以9的余数是8，想到八八六十四，六十四除以9刚好余1！于是我们再来3个2009相乘，即：（2009×2009×2009）×（2009×2009×2009）

第一个括号与第二个括号里的乘积除以9的余数都是8，按照规律③，（2009×2009×2009）×（2009×2009×2009）除以9的余数，应该与8×8除以9的余数相同，           8×8=64，64÷9=7......1，所以（2009×2009×2009）×（2009×2009×2009）

除以9的余数也是1也就是说6个2009连乘的积除以9的余数是1，那我们就可以把2009的2009次方，按6个一组进行重新分配:2009的2009次方=（2009×2009×2009×2009×2009×2009）×（2009×2009×2009×2009×2009×2009）×......×（2009×2009×2009×2009×2009×2009）×。

2009×2009×2009×2009×2009（因为2009÷6=334.....5，所以上面的算式可以分为334组（每组是6个2009连乘）多5个，最后红色字体的就是最后剩余的5个2009的乘积），它除以9的余数，应该与1×1×1×......×1×2×2×2×2×2除以9的余数相同，很显然上式等于32，因为32除以9的余数就是5，

所以2009的2009次方，除以9的余数也是5，即D=5！

      到此，这道题才算真的算完了！但学生在学奥数时，为什么会跳过细节，为什么会没有耐心细细品味，为什么停不下来！对此，我想摘录一些著名数学家对于奥数的看法：哈佛大学终身教授，国际知名数学家    丘成桐说：“在我所接触到的国内参加过奥数培训的学生中，没有看到一个学生考奥数的原因纯粹是为了数学，大家都是带着目的去学数学、拿奖牌。

没有几个人是真正欣赏数学，是为了数学而去学数学。”

     美籍华裔数学大师、20世纪最伟大的几何学家之一陈省身说：“中国之所以出不了高斯，乃是因为聪明人都想着升官发财。”

    数学家们的回答，告诉我们：学奥数，本身没有问题，如果带着急功近利的心态去学，那就会出问题！最后，对于奥数学习的好与坏，引用苏联伟大数学家柯尔莫哥洛夫在一本奥数书上写的序中的一段话，作为结尾：“奥数学得好，自然会感到高兴甚至自豪，但奥数学得不太好，也不要沮丧，更不必对自己的数学能力感到失望。

因为，学好奥数是需要一些专门的天赋的，但这些天赋对于你成为一个优秀的研究人员不是必要的！”