2013年高考真题(2013年高考数学)干货满满

大家好！本文和大家分享一道2013年北京高考数学真题。这是一道导数综合题，综合考查了导数的计算、导数的几何意义、直线方程、导数与函数单调性-导数

大家好！本文和大家分享一道2013年北京高考数学真题这是一道导数综合题，综合考查了导数的计算、导数的几何意义、直线方程、导数与函数单调性-导数与函数最值等知识作为一道导数解答题，本题的难度不大，学霸都说是送分题。

先看第一小问：求切线l的方程要求曲线在某点处的切线方程，通常就需要用到导数的几何意义即曲线在某点处的导数值就是该点处切线的斜率利用导数求切线方程的一般步骤：第一步求出该点的坐标，如果已经知道该点的坐标则不需要再求了，比如本题就不需要求点的坐标；第二步求曲线方程的导数；第三步求该点的导数值；第四步用直线的点斜式方程得到切线方程。

再看第二小问：证明命题要证明除切点外，曲线C在直线l的下方，那么只需要证明当x＞0且x≠1时，x-1＞(lnx)/x①即可下面介绍两种证明方法证法一：不等式①的右边是分式的形式，而分式在处理过程中相对来说比较复杂，而由于函数y的定义域是x＞0，所以不等式①两边同时乘以x就可以得到x(x-1)＞lnx，这样就将分式化为整式了，移项就可以变成了x(x-1)-lnx＞0。

这样处理后，我们就只需要证明函数y=x(x-1)-lnx在(0,1)和(1,+∞)上的最小值都大于零即可

构造新函数f(x)=x(x-1)-lnx，0＜x＜1，x＞1，求导得到f(x)=2x-1-1/x=(2x^2-x-1)/x=(2x+1)(x-1)/x显然，在f(x)定义域范围内，2x+1＞0，即f(x)的正负由x-1这一项来决定。

故当0＜x＜1时，x-1＜0，则f(x)＜0，此时f(x)为减函数，而当x＞1时，x-1＞0，f(x)＞0，此时f(x)为增函数所以有f(x)＞f(1)=0，即x(x-1)-lnx＞0恒成立，故原命题得证。

证法二：不少同学说再证明不等式①时没有想到将分式化为整式，直接证明可以不呢？当然可以构造新函数f(x)=x-1-(lnx)/x，x＞0，则求导得到f(x)=1-(1-lnx)/x^2=(x^2-1+lnx)/x^2。

接下来判断f(x)的正负由于x^2＞0，所以f(x)的正负由分子x^2-1+lnx决定当x＞0时，x^2-1为增函数，lnx也为增函数，故g(x)=x^2-1+lnx为增函数又g(1)=0，故当0＜x＜1时，f(x)＜0，此时f(x)为减函数；当x＞1时，f(x)＞0，此时f(x)为增函数，f(x)＞f(1)=0。

从而原命题得证

总体来说，这道题的难度不大，中等生应该是可以拿到满分的。